点到面距离公式如何用向量法推导?

热心网友回答时间：2024-05-03 00:13

点到平面的距离公式可以使用向量法来推导。假设我们有一个点P和一个平面，该平面由一个点A和两个非共线的向量u和v张成。我们想要找到点P到这个平面的最短距离，即垂直距离。
首先，我们可以表示平面上任意一点Q的坐标为：
Q = A + λu + μv
其中，λ和μ是标量系数，表示沿着向量u和v的缩放因子。
接下来，我们需要找到一个向量，它垂直于平面。由于u和v张成了平面，它们的叉积将给出一个垂直于平面的向量n：
n = u × v
现在，我们可以将点P与平面上的任意一点Q之间的向量表示为：
PQ = P - Q
= P - (A + λu + μv)
= P - A - λu - μv
我们想要找到点P到平面的垂直距离，即向量PQ在向量n上的投影长度。这可以通过计算向量PQ和n的点积来得到：
(PQ · n) = (P - A - λu - μv · n)
由于n垂直于平面，它与u和v的点积都为零，因此上式可以简化为：
(PQ · n) = (P - A · n)
现在，我们需要找到使得PQ垂直于平面的λ和μ值。这意味着PQ应该与n平行。因此，我们可以将PQ在n上的投影表示为：
PQ_proj = (PQ · n) / ||n||^2 * n
将(P - A · n)代入上式，我们得到：
PQ_proj = ((P - A · n) / ||n||^2) * n
现在，我们可以计算点P到平面的垂直距离d：
d = ||PQ_proj||
= ||((P - A · n) / ||n||^2) * n||
= |(P - A · n) / ||n|||
= |(P - A · n)| / ||n||
这就是点到平面的垂直距离公式。在这个公式中，分子是点P与平面上一点A的向量在垂直向量n上的投影，分母是垂直向量n的模长。通过这个公式，我们可以计算出点P到平面的最短距离。

热心网友回答时间：2024-05-03 00:13

点到平面的距离公式可以使用向量法来推导。假设我们有一个点P和一个平面，该平面由一个点A和两个非共线的向量u和v张成。我们想要找到点P到这个平面的最短距离，即垂直距离。
首先，我们可以表示平面上任意一点Q的坐标为：
Q = A + λu + μv
其中，λ和μ是标量系数，表示沿着向量u和v的缩放因子。
接下来，我们需要找到一个向量，它垂直于平面。由于u和v张成了平面，它们的叉积将给出一个垂直于平面的向量n：
n = u × v
现在，我们可以将点P与平面上的任意一点Q之间的向量表示为：
PQ = P - Q
= P - (A + λu + μv)
= P - A - λu - μv
我们想要找到点P到平面的垂直距离，即向量PQ在向量n上的投影长度。这可以通过计算向量PQ和n的点积来得到：
(PQ · n) = (P - A - λu - μv · n)
由于n垂直于平面，它与u和v的点积都为零，因此上式可以简化为：
(PQ · n) = (P - A · n)
现在，我们需要找到使得PQ垂直于平面的λ和μ值。这意味着PQ应该与n平行。因此，我们可以将PQ在n上的投影表示为：
PQ_proj = (PQ · n) / ||n||^2 * n
将(P - A · n)代入上式，我们得到：
PQ_proj = ((P - A · n) / ||n||^2) * n
现在，我们可以计算点P到平面的垂直距离d：
d = ||PQ_proj||
= ||((P - A · n) / ||n||^2) * n||
= |(P - A · n) / ||n|||
= |(P - A · n)| / ||n||
这就是点到平面的垂直距离公式。在这个公式中，分子是点P与平面上一点A的向量在垂直向量n上的投影，分母是垂直向量n的模长。通过这个公式，我们可以计算出点P到平面的最短距离。

热心网友回答时间：2024-05-03 00:12

点到平面的距离公式可以使用向量法来推导。假设我们有一个点P和一个平面，该平面由一个点A和两个非共线的向量u和v张成。我们想要找到点P到这个平面的最短距离，即垂直距离。
首先，我们可以表示平面上任意一点Q的坐标为：
Q = A + λu + μv
其中，λ和μ是标量系数，表示沿着向量u和v的缩放因子。
接下来，我们需要找到一个向量，它垂直于平面。由于u和v张成了平面，它们的叉积将给出一个垂直于平面的向量n：
n = u × v
现在，我们可以将点P与平面上的任意一点Q之间的向量表示为：
PQ = P - Q
= P - (A + λu + μv)
= P - A - λu - μv
我们想要找到点P到平面的垂直距离，即向量PQ在向量n上的投影长度。这可以通过计算向量PQ和n的点积来得到：
(PQ · n) = (P - A - λu - μv · n)
由于n垂直于平面，它与u和v的点积都为零，因此上式可以简化为：
(PQ · n) = (P - A · n)
现在，我们需要找到使得PQ垂直于平面的λ和μ值。这意味着PQ应该与n平行。因此，我们可以将PQ在n上的投影表示为：
PQ_proj = (PQ · n) / ||n||^2 * n
将(P - A · n)代入上式，我们得到：
PQ_proj = ((P - A · n) / ||n||^2) * n
现在，我们可以计算点P到平面的垂直距离d：
d = ||PQ_proj||
= ||((P - A · n) / ||n||^2) * n||
= |(P - A · n) / ||n|||
= |(P - A · n)| / ||n||
这就是点到平面的垂直距离公式。在这个公式中，分子是点P与平面上一点A的向量在垂直向量n上的投影，分母是垂直向量n的模长。通过这个公式，我们可以计算出点P到平面的最短距离。

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