斯坦纳—雷米欧斯定理证明

本文主要探讨斯坦纳—雷米欧斯定理的证明过程。定理指出，在满足特定条件的三角形中，能够通过一系列几何变换得到等价的结论。以下是对定理证明的三部分分析：

证明1：

在三角形EBC与DBC中，利用正弦定理，我们得到等式sin(2β+γ)/ sin2β = BC/CE = BC/BD = sin(β+2γ)/ sin2γ。

通过变形和简化，等式转化为sinβ sin2(β+γ)+sin 2γ】- sinγ【 sin2（β+γ）+ sin2β】=0。

继续变形，等式变为sin2(β+γ)【sinβ-sinγ】+2 sinβsinγ【cosγ- cosβ】=0。

再进一步，等式简化为sin [(β-γ)/2]【sin2(β+γ) cos[(β+γ)/2] + 2 sinβsinγsin [(β+γ)/2]=0。

注意到等式后一项恒正，因此sin[(β-γ)/2]=0，即β=γ。因此，AB=AC。证明结束。

证明2：

设三角形ABC，其中∠B=2a，∠C=2b，且角平分线BD=CE。以BD，CE为底边，以a+b为底角向上做两个等腰三角形BDF，CEG，连接AF，AG。四点ADBF和AGCE共圆，且∠1+∠2=∠1+∠3=∠1+b+a=180度，说明FAG共线。由于∠4+∠BCG=∠4+(b+b+a)=∠5+(b+b)+a=180度，四点BCGF共圆。基于△FBD≌△GEC，得到BF=CG。结合共圆条件，可得出FG//BC，形成等腰梯形。因此，∠FBC=∠GCB，b+a+a=b+b+a。整理后得到∠B=∠C。

证明3：

考虑将△AEC绕点O（点O为BI和CI的中垂线的交点）逆时针旋转，使得CE与BD重合，得到点A的对应点A'。设BD与CE交于I，即为△ABC的内心，AI平分∠BAC。旋转后，AI的对应线为A'I'。连接AA'，A'B。

证明图中，∠DA'B=∠BAC（旋转对应角），说明A、A'、B、D四点共圆。从而得到∠AA'D=∠ABD。根据外角定理，∠AID=∠ABD+∠BAI。进一步得出∠AID=∠AA'D+∠I'A'D=∠AA'I'，即A、A'、I'、I四点共圆。因为AI=A'I'，四边形AA'I'I为等腰梯形，即AA'∥II'，即AA'∥BD。因此，四边形AA'BD为等腰梯形。由此得出AB=A'D=A'C'。由于A'C'=AC，可推断AB=AC。定理证毕。

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