微分方程 $xy' = 3y$ 是一个一阶常系数线性微分方程。可以使用分离变量法来求解该微分方程。
将微分方程两侧移项，得到 $\frac{dy}{y} = \frac{3}{x}dx$。
对上式两侧同时积分，得到 $\ln|y| = 3\ln|x| + C_1$，其中 $C_1$ 是常数。
移项并取指数，得到 $|y| = e^{3\ln|x| + C_1} = e^{C_1} x^3$。
由于 $|y| = e^{C_2} x^3$，其中 $C_2 = \pm e^{C_1}$，所以 $y = Cx^3$，其中 $C = \pm e^{C_1}$ 是一个常数。
因此，微分方程 $xy' = 3y$ 的通解为 $y = Cx^3$，其中 $C$ 是任意常数。注意，这个通解包含了 $y = 0$ 这种特殊情况，这时 $C = 0$。因此，$y = 0$ 也是微分方程 $xy' = 3y$ 的解。
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回答时间：2025-03-15 11:24
