设函数为∫√(1-x^2) dx，采用换元法，设x=sina，x属于[-π/2,π/2]，则a=arcsinx。
利用三角恒等式，得到sin2a=2cosasina，即2x√(1-x^2) dx=cosada，从而dx=cosada/2x√(1-x^2)。
原式转换为∫cosacosada/2x√(1-x^2)，进一步化简为∫(1+cos2a)/2da。
根据积分公式，得到∫(1+cos2a)/2da=a/2+1/4sin2a+C。
将a=arcsinx代入，得到(arcsinx)/2+1/4sin2a+C。
进一步化简为(arcsinx)/2+[x√(1-x^2)]/2+C。
因此，∫√(1-x^2) dx=(arcsinx)/2+[x√(1-x^2)]/2+C。
通过换元和三角恒等变换，我们得到了原函数的导数是√(1-x^2)的积分表达式。
此方法不仅适用于计算该类函数的积分，还展示了三角函数在积分中的应用。
在求解过程中，我们使用了换元法和三角恒等式，这为我们解决复杂积分问题提供了有力的工具。
在实际应用中，这种技巧不仅有助于简化计算过程，还能提高解题效率。
通过学习这种积分技巧，我们能够更好地掌握微积分的基本原理，从而解决更多实际问题。
这种积分方法在物理、工程等领域有着广泛的应用，是数学中的重要组成部分。
在积分过程中，我们还利用了积分的线性性质，这使得积分运算变得更加便捷。
掌握这种技巧，对于提高数学水平和解决实际问题具有重要意义。
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回答时间：2025-01-26 04:50
