“猜你心里想的数” 小魔术揭秘

女儿展示了一个小魔术，六张扑克牌上面写满了数字。她让我心中默默地选择一个1到60之间的任意数字x，然后她依次问我x是否在这些扑克牌中，之后她就能知道x是什么。我曾记得以前在某处看到过这个魔术。

我仔细观察这些扑克牌，寻找其中的规律。作为码农，我很快发现了左上角的数字。记得去年在上海科技馆看到有人炫耀1，2，4，8，16，...65536，那时我感到不屑。我告诉家人我也会这个魔术，甚至知道16进制的0xffffffff是4294967295，这就是职业直觉。

这个魔术很简单，对方只需知道我选择的数字x出现在哪些扑克牌上，然后将这些扑克牌左上角的数字加在一起就是x。因为1，2，4，8，16，32这六个数字的排列组合算术和可以编码从1到63的任何数字。

首先，C(6,1) + C(6,2) + C(6,3) + C(6,4) + C(6,5) + C(6,6) = 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 63 说明六个数字的排列组合算术和有63种可能性。其次，1，2，4，8，16，32是2的连续次幂，以2进制表示就是1，10，100，1000，10000，100000，最多只使用一次某个数字，就可以表示2进制1到111111中的任何数字，而111111正好是63。

这就是魔术的原理。如果你选的是35，而35 = 32 + 2 + 1，则只需在左上角是32，2，1的扑克上写上35即可。如果你选择的是20，而20 = 16 + 4，则只需要在左上角是16，4的扑克上写有20。

我们日常生活中都经历过类似的游戏，只是我们反着玩。给出一个数字，然后拆分成一些“基”数字的加和，尽量每个基数字只使用一次。想到是什么了吗？很简单，付钱和找零。这是一个贪心背包问题。

付钱和找零时，尽量不要同一币值的货币给多张，尽量不数钱而只将一眼看穿的币面值做累加，因此尽量每种币面只使用一次。货币面值的种类处在2进制和3进制之间，如人民币1，2(虽然现在没有了)，5，10，20，50，100等面值，它们的排列组合算术运算可以表示从1元到200以内的任何元钱。

如果是卖者找零，操作也一样。货币面值的排列组合算术和，算术差对于交易双方的平衡以及货币在交易中的灵活性都有帮助。对于日常买卖的人，特别是商户而言，这些单位币值的排列组合算术和，算术差烂于心。

在现实生活中，如果我们用纸币玩魔术游戏，1元钱上会写上1元本身，以及所有与它参与组合的数字，比如3，6，8，11等。5元钱上会写上15，25，35，45等。对于5-1=4这种情况，可以在5元钱上写上4，在1元钱上旁边做个记号表示-1。

总的来说，这个游戏的迷惑性并不高。首先，对于程序员敏感的数字不应放在显眼位置，其次，其余的数字不够分散。解决这些问题的方式有很多，可以将左上角的数字多次索引找到真正的“基”数字，再混入一些其他运算。

在背后的运算面前，结果只是障眼法，逆向这些运算需要知识、技术和耐心。

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