中考数学常见题型之一，即抛物线上的等腰三角形的存在性问题，其关键在于运用坐标平面内两点的距离公式。下题为例：
抛物线与直线相交于点A(-1,0)，B(4,m)，且抛物线经过点C(5,0)。要求求出抛物线的解析式；点P为抛物线上的动点，与A、B不重合，过P作PD⊥x轴于D，交直线AB于E。当PE=2ED时，求P点坐标；是否存在点P使△BEC为等腰三角形，假设存在，请直接写出点P的坐标，假设不存在，请说明理由。
分析：首先，求解抛物线的解析式，最直接的方法是列出关于三个系数的方程组。然而，设置抛物线的交点式更简便。代入B点坐标求解，可得m值。然后，利用两点距离公式，设P点坐标，求解PE=2ED时的P点坐标，需注意P点可能在E点上方或下方，涉及绝对值计算。
对于等腰三角形的存在性问题，需分类讨论，考虑三角形任意两边相等的情况。利用两点距离公式列出方程，解得点P坐标。解题过程如下：
解：抛物线解析式设为：y=a(x+1)(x-5)，代入B点坐标求得m=5，进而解得a=-1，因此抛物线解析式为：y=-(x+1)(x-5)。
设P点坐标为(p, -p^2+4p+5)，E点坐标为(p,p+1)。当PE=2ED时，依据两点距离公式，得到P点坐标的两种可能情况，即P(2,9)或P(6,-7)。
存在等腰三角形的情况，根据等腰三角形的性质，列出相关方程，求得点P坐标为(0,5)，(4+根号13,-8-4根号13)，(4-根号13,-8+4根号13)，或(3/4,119/16)。
通过多加练习，对于中考类似的题目，便能熟练地解答。
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回答时间：2025-01-02 19:44
