#笔记整理# AFAE 浮点运算及误差分析 4

首先介绍舍入误差的概念。在使用有限位浮点数表达实数时，由于位数限制，实数无法完全精确表达，产生舍入误差。这种误差累积可能导致最终计算结果失去意义。舍入误差分析的先驱是 Alan Turing 和 James Wilkinson，尽管 Turing 更为人们所熟知，但 Wilkinson 在该领域有高深造诣。

误差来源主要分为四类：测量问题、建模解决、算法方法与计算过程。目标在于评估近似值的精度，即估算或边界化近似值的准确度。分析的最终目的是识别不同误差源并测量它们对结果准确性的影响，这是提高近似质量的先决条件。解决问题的难度与算法的可靠性是区分两个方面的主要考虑因素。

在数学问题中，找到 x 使得 F(x)=y 成立，如果问题适当，存在唯一的连续解依赖于给定数据 y。反之，问题称为不适当，如矩阵 A 是异常的，无法求解 Ax = b。我们只讨论适当的问题。

误差分为绝对误差和相对误差。绝对误差是真实值与近似值之间的差，相对误差则是绝对误差与真实值的比例。在特定区间内，误差可以用范数表示，绝对误差为向量差的范数，相对误差则分为范数和组件范数两种形式。

问题的条件是衡量误差对结果影响的关键。若问题适当，则存在唯一连续解 x=g(y)，若数据 y 产生误差 ∆y，则计算值为 x1=G(y+∆y)，当 ∆y 足够小，误差与 y 的比例近似为 g1(y)∆y。由此可得误差与 y 的相对误差关系。

多项式评价条件涉及系数扰动导致的误差。多项式 P(z) 的系数扰动通过定义系数向量和扰动向量进行。计算多项式 P(z) 的解 x1，可求得扰动量 X1。通过分析系数扰动向量的范数，我们可以计算多项式的条件数 K(p(z),a)，并确定相对误差的边界。

线性系统的条件数反映了解的敏感性。矩阵 A 和其扰动矩阵的求解结果差距显著。通过分析误差和扰动量，我们能够计算出线性方程组的条件数，从而确定解的相对误差边界。

向前误差分析考虑算法 G 对输入 y 的执行，通过形式化中间变量误差传播提供精确解与计算解之间的误差上界。而向后误差分析将近似解 x 与扰动数据 y+∆y 的精确评估联系起来，通过估计或边界化后向误差 ∆y 来减少误差分析为敏感性分析，从而简化了问题。

向后误差分析的优势在于测量问题难度、评估算法可靠性、量化计算结果的精确度以及通过条件数计算误差值。算法稳定性与向后误差分析紧密相关，后者定义了算法在有限精度运算下的稳定性概念。

浮点运算的标准模型定义了从实数到浮点数的映射，保证了运算的一致性和预测性。在该模型下，所有可换算的实数映射到浮点数，误差不会扩散或无限制增长，从而确保了计算的准确性与可靠性。

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