数学难题:x+x^2+x^4+x^8+……+x^2^n 该如何求和呢?就是X的指数部分是一...

你好!

“数学之美”团员448755083为你解答！

变量代换
tn = lnx^(2^n) = (2^n)lnx
关键步骤：e^x 的幂级数
an = x^(2^n) = e^(tn) = 1 + tn + (tn)^2/2! + (tn)^3/3! + ... + (tn)^n/n! + ...

a0 = e^(t0) = 1 + lnx + (lnx)^2/2! + (lnx)^3/3! + ... + (lnx)^n/n! + ...
a1 = e^(t1) = 1 + (2lnx) + (2lnx)^2/2! + (2lnx)^3/3! + ... + (2lnx)^n/n! + ...
a2 = e^(t2) = 1 + (4lnx) + (4lnx)^2/2! + (4lnx)^3/3! + ... + (4lnx)^n/n! + ...
...
an = e^(tn) = 1 + [(2^n)lnx] + [(2^n)lnx]^2/2! + [(2^n)lnx]^3/3! + ... + [(2^n)lnx]^n/n! + ...

Sn = n +
[2^(1×0) + 2^(1×1) + 2^(1×2) + 2^(1×3) +...+ 2^(1×n)]·(lnx)^1/1! +
[2^(2×0) + 2^(2×1) + 2^(2×2) + 2^(2×3) +...+ 2^(2×n)]·(lnx)^2/2! +
[2^(3×0) + 2^(3×1) + 2^(3×2) + 2^(3×3) +...+ 2^(3×n)]·(lnx)^3/3! +
...
[2^(n×0) + 2^(n×1) + 2^(n×2) + 2^(n×3) +...+ 2^(n×n)]·(lnx)^n/n! +
...
n≥1

数列2^(n×0) + 2^(n×1) + 2^(n×2) + 2^(n×3) +...+ 2^(n×n)是首项为1，公比为2^n的等比数列

前n项和公式为An=[1-(2^n)^n]/(1-2^n)

因此可得
Sn
= n + A1·(lnx)^1/1! + A2·(lnx)^2/2! + A3·(lnx)^3/3! + .....
= n + ∑An·(lnx)^n/n!

这个题目的关键在于想办法将单项的乘方提出来作为系数才能求和。

尽管如此，还是只能用无穷级数来表示，代入具体数字求的时候取前面若干项进行计算得到近似值。

至于资料吗，我也没有，就是自己做出来的 = _ = ~

如果推导有问题可以再向我反馈。

如满意，请采纳，并加赞同；
不满意，请反馈，“数学之美”与你共同进步！

原式 x+x^2+x^4+x^8+……+x^2n 另t=x^2 那么得t^(1/2)+t^1+t^2+t^3+......+t^n

即 t^(1/2) + (t^1+t^2+t^3+......+t^n) 那么原式就变成一个简单的等比和数列了。。。

带入等比和公式 得t^(1/2)+ t(1-t^n)/(1-t) 带入t=x^2 得x+ (x^2)(1-x^2n)/(1-x^2)

1.当x=0或者1时，显然其结果为n+1；（必须讨论的，这两个数不能用等比求解）
2.当x=—1时，此时结果会是n-1；
3.当x等于上面几个式子时，其实全部化简后就会发现是x²的等比数列，则
s=x²(1-x²(n +1))/(1-x²)
上面那个是x平方的（n+1）次方
做这种题主要是要观察其相同的，然后要注意讨论
没明白可以再问我，呵呵

按照你的意思，这个题真的不好搞，不知道你为什么要问这个问题，是做研究的时候遇到的吗？X如果在（-1,1）之间或许还能讨论，如果是做研究的话，这个就可以用编程来算出结果，但是没有式子。递推公式是an=a(n-1)^2,a1=x然后编程求和即可。

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