双曲线的渐近线公式推导主要基于双曲线的标准方程。以焦点在x轴上的双曲线$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$为例，其推导过程如下：
首先，将双曲线方程改写为$\frac{x^2}{a^2} = 1 + \frac{y^2}{b^2}$。
然后，考虑当$x$或$y$趋于无穷大时，$\frac{y^2}{b^2}$项相对于1来说变得很小，可以忽略不计（在求渐近线时）。
因此，近似有$\frac{x^2}{a^2} \approx 1$，即$x^2 \approx a^2$，但这里我们更关心的是比例关系，所以得到$\frac{x}{a} \approx \pm \frac{y}{b}$（正负号表示双曲线有两条渐近线）。
最后，将上述比例关系改写为直线方程的形式，即$y = \pm \frac{b}{a}x$，这就是双曲线的渐近线公式。
对于焦点在y轴上的双曲线，推导过程类似，只是x和y的角色互换。
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回答时间：2025-03-22 07:16
