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请写出"所有质数的倒数之和不收敛"的证明过程

提问网友发布时间：2023-11-20 00:50

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共2个回答

热心网友回答时间：2024-05-16 10:49

记{pn,n>0}为全体质数列(递增).
1.
显然有2x≥-ln(1-x),当1/2≥x≥0.

2.
对于任意M>0,有N>0,使
1/1+1/2+..+1/N>e^(2M)

3.
记pm为不超过N的最大质数
==>
e^(2M)<所有1/[(p1)^(a1)*..*(pm)^(am)]的和,其中ai≥0.
而所有1/[(p1)^(a1)*..*(pm)^(am)]的和=
=[1+1/p1+..+1/(p1)^(a1)+..]*..*[1+1/pm+..+1/(pm)^(am)+..]
=1/[(1-1/p1)*..*(1-1/pm)]
==>
2M<(-ln(1-1/p1)+..+(-ln(1-1/pm)≤
≤2/p1+..+2/pm
==>
M<1/p1+..+1/pm
==>
级数1/p1+..+1/pm+...发散.

热心网友回答时间：2024-05-16 10:49

因为收敛一定连续，质数的倒数不连续，所以不收敛

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