两道数论题

1.
设所求数为100a+10b+c，即它的百、十、个位数码分别为a,b,c.根据题意有：

(100a+10b+c)/11=9a+b+(a+c-b)/11=a&sup2+b&sup2+c&sup2，（*）

这里a+c-b是11的倍数。
因为1≤a≤9,0≤b,c≤9，所以-8≤a+c-b≤18，a+c-b=0或者11

(1)当a+c-b=0时，b≥a，(*)化为：
9a+b=a&sup2+b&sup2+(b-a)&sup2，(**)
但9a+b≤9a+9,a&sup2+b&sup2+(b-a)&sup2≥a&sup2+b&sup2，所以2sup2≤9a+9,可知a≤5.
而从b&sup2≤9a+9-a&sup2，可知b≤5.
另外从9a+b=a&sup2+b&sup2+(b-a)&sup2可知a,b奇偶性相同，否则导致等式左边是奇数右边是偶数。
如果a,b都是奇数，由上式还可知a,b除以4的余数相同，否则导致等式左端是4的倍数右端被4除余2。因此a,b可能取值为：
a=1,b=1；a=1,b=5；a=5,b=5；a=3,b=3.只有a=b=5符合要求，此时c=0
所求三位数为550.
如果a,b都是偶数，从(**)可知，a+b是4的倍数，从而a,b除以4的余数也相同。
因此a,b可能取值为：
a=2,b=2；a=4,b=4.没有符合要求的。

(2)当a+c-b=11时，a,c≥b+2≥2（*）化为：
9a+b+1=a&sup2+b&sup2+(b+11-a)&sup2，
9a+b+1≥a&sup2+b&sup2+4，可知b&sup2-b≤-a&sup2+9a-3≤17，进而b≤4.
类似的分析奇偶性可得a,b奇偶性相同并且除以4的余数也总相同。
a,b可能的取值为：
b=0,a=4；b=0,a=8；b=1,a=5；b=1,a=9；b=2,a=6；b=3,a=7；b=4,a=8.
只有b=0,a=8符合要求，此时c=3
所求三位数为803.

因此共有两个三位数符合题意：550,803.

2.
记所求数A=10a+6为n位数，根据题意6*10^(n-1)+a=4(10a+6)
(10^(n-1)-4)*6=39a，于是13整除10^(n-1)-4，这等价于13整除10^n-40=10^n-1-39于是13整除10^n-1,从而n是6的倍数。
要使A最小，取n=6.此时99996*6=39a, a=15384，A=153846即为所求。

第一题做的不好。

第一个我没算结果，不过可以得到a只能等于1或2，剩下的就可以试了
因为三位数各位的平方和不能大于三百（三个小于10的数的平方和）

第二题结果是615384，从低位向高位一位一位推的

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