delta函数关于狄拉克delta函数
“请问两个delta(t)函数相乘表示什么意义呢？”
“我在信号与系统中遇到了两个冲激函数相乘的情况，故有此一问”
答：容易想象信号与系统中两个冲激函数相加的情况，但很难想象两个冲激函数相乘的情况。从数学上来讲，两个delta(t)函数相乘是无意义或无定义的。理由如下：
事实上，陈老师上面最后一个方程可看成是delta函数的原始定义。上面提到v(x)是连续函数，这是很自然的事。若v(x)在x=0处不连续或无定义的 话，delta函数也就无定义了。v(x)也称为检验函数，它必须是无穷次可导的光滑函数，则delta函数及其导数才有定义。[Ref. 2]
delta(t)*delta(t)或delta(t+a)*delta(t)是什么呢？若用检验函数来定义一下则v(x)*delta(t+a)形成了对的delta(t)的新的检验函数，非但不光滑，不连续，还是一个奇异函数，故v(x)*delta(t+a)不可能用来定义delta(t)或即 delta(t+a)*delta(t)无定义。
当然，陈老师关于“delta(x)*delta(y)=delta(x，y) (*指乘积的意思)”的说法还是对的。我们还能从此推出为何delta[f1(t)]*delta[f2(t)]无定义。
我们知道delta函数有如下性质：
delta[f(x)] = delta(x-x0)/|f’(x0)|
其中f(x0)=0
对delta[f1(x,y)]*delta[f2(x,y)]我们能推出类似的表达式，但这时分母的导数项成了f1和f2对x和y的雅可比的行列式。当f1和f2都仅仅是x的函数时，行列式为零，分母为零则表达式无定义。 +++++++++++++++++
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回答时间：2024-05-17 06:25
