什么是数学归纳法？怎么用它解决求前n个正整数平方和问题？7

提问网友发布时间：2023-10-20 06:00

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热心网友回答时间：2024-05-16 12:15

　　数学归纳法是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立。除了自然数以外，广义上的数学归纳法也可以用于证明一般良基结构，例如：集合论中的树。这种广义的数学归纳法应用于数学逻辑和计算机科学领域，称作结构归纳法。
　　虽然数学归纳法名字中有“归纳”，但是数学归纳法并非不严谨的归纳推理法，它属于完全严谨的演绎推理法。事实上，所有数学证明都是演绎法。

Sn=1+2²+3²+.+n²
当n=1时,S1=1代入Sn=n(n+1)(2n+1)1/6 显然成立
假设当n=k时,Sk=1+2²+3²+.+k²=k(k+1)(2k+1)/6成立
则当n=k+1时,
S（k+1)=1+2²+3²+.+k²+(k+1)²
=Sk+(k+1)²
=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)²
=(k+1)[k(2k+1)/6+k+1]
=(k+1)(2k²+7k+6)/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6
=(k+1)(k+2)[2(k+1)+1]/6
于是当n=k+1时,S（k+1)=(k+1)(k+2)[2(k+1)+1]/6也成立
所以对一切正整数n,Sn=n(n+1)(2n+1)1/6成立.

热心网友回答时间：2024-05-16 12:15

数学归纳法是一种数学证明方法，典型地用于确定一个表达式在所有自然数范围内是成立的或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的。有一种用于数理逻辑和计算机科学广义的形式的观点指出能被求出值的表达式是等价表达式；这就是著名的结构归纳法。

已知最早的使用数学归纳法的证明出现于 Francesco Maurolico 的 Arithmeticorum libri o (1575年)。Maurolico 证明了前 n 个奇数的总和是 n^2。

最简单和常见的数学归纳法证明方法是证明当n属于所有自然数时一个表达式成，这种方法是由下面两步组成:

递推的基础: 证明当n = 1时表达式成立。

递推的依据: 证明如果当n = m时成立，那么当n = m + 1时同样成立。(递推的依据中的“如果”被定义为归纳假设。不要把整个第二步称为归纳假设。)

这个方法的原理在于第一步证明起始值在表达式中是成立的，然后证明一个值到下一个值的证明过程是有效的。如果这两步都被证明了，那么任何一个值的证明都可以被包含在重复不断进行的过程中。或许想成多米诺效应更容易理解一些；如果你有一排很长的直立着的多米诺骨牌那么如果你可以确定：

第一张骨牌将要倒下。

只要某一个骨牌倒了,与他相临的下一个骨牌也要倒。

那么你就可以推断所有的的骨牌都将要倒。

数学归纳法的原理作为自然数公理，通常是被规定了的(参见皮亚诺公理第五条)。但是它可以用一些逻辑方法证明；比如，如果下面的公理：

自然数集是有序的

被使用。

注意到有些其他的公理确实的是数学归纳法原理中的二者择一的公式化。更确切地说，两个都是等价的。

热心网友回答时间：2024-05-16 12:15

数学归纳法就是在一个已知n=k满足条件,证明n=k+l也满足条件。
求前n个正整数平方和：
已经知道公式n(n+1)(2n+1)/6
1）当n=1时，结论成立。
2）假设n=k(k是正整数，且k不小于1），1^2+2^2+……k^2=k(k+1)(2k+1)/6
那么1^2+2^2……k^2+(k+1)^2=(k+1)(k+2)(2k+3)/6
证明(k+1)^2=(k+1)(k+2)(2k+3)/6-k(k+1)(2k+1)/6
剩下的，就由你自己来做吧，我只给你指明方向。

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