欧拉定律是什么36

欧拉定理
（1）背景：欧拉公式的背后是一门新的几何学，这种新的几何学只研究图形各部分位置的相对次序，而不考虑图形尺寸大小，这就是由莱布尼兹和欧拉共同奠基的“橡皮膜上的几何学”（位置几何学），如今这门学科已经发展成数学的一个重要的分支——拓扑学。

（2）历史：有关凸多面体最有趣的定理之一是欧拉公式“V-E+F=2”，其实大约在1635年笛卡尔就早已发现了它。欧拉在1750年独立地发现了这个公式，并于1752年发表了它。由于笛卡尔的研究到1860年才被人们发现，所以这个定理就称为欧拉公式而不是笛卡尔公式。

欧拉,出生在瑞士的巴塞尔（Basel）城，13岁就进巴塞尔大学读书，得到当时最有名的数学家约翰·伯努利（Johann Bernoulli，1667-1748年）的精心指导．

欧拉在数学上的建树很多，对著名的哥尼斯堡七桥问题的解答开创了图论的研究。欧拉还发现，不论什么形状的凸多面体，其顶点数V、棱数E、面数F之间总有V-E+F=2这个关系。V-E+F 被称为欧拉示性数，成为拓扑学的基础概念。以欧拉的名字命名的数学公式、定理等在数学书籍中随处可见, 与此同时，他还在物理、天文、建筑以至音乐、哲学方面取得了辉煌的成就。欧拉还创设了许多数学符号，例如π（1736年），i（1777年），e（1748年），sin和cos（1748年），tg（1753年），△x（1755年），∑（1755年），f(x)（1734年)等。

1733年，年仅26岁的欧拉担任了彼得堡科学院数学教授．1735年，欧拉解决了一个天文学的难题（计算慧星轨道），这个问题经几个著名数学家几个月的努力才得到解决，而欧拉却用自己发明的方法，三天便完成了．然而过度的工作使他得了眼病，并且不幸右眼失明了，这时他才28岁．

欧拉的一生，是为数学发展而奋斗的一生，他那杰出的智慧，顽强的毅力，孜孜不倦的奋斗精神和高尚的科学道德，永远是值得我们学习的．

欧拉公式有4条

（1）分式：

a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b)

当r=0,1时式子的值为0

当r=2时值为1

当r=3时值为a+b+c

（2）复数

由e＾iθ=cosθ+isinθ,得到：

sinθ=（e＾iθ-e＾-iθ）/2i

cosθ=（e＾iθ+e＾-iθ）/2

（3）三角形

设R为三角形外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距离，则：

d＾2=R＾2-2Rr

（4）多面体

设v为顶点数，e为棱数，是面数，则

v-e+f=2-2p

p为欧拉示性数，例如

p=0 的多面体叫第零类多面体

p=1 的多面体叫第一类多面体

等等

其实欧拉公式是有4个的，上面说的都是多面体的公式

中文名称：欧拉定律
英文名称：Euler law
定义：晶体或晶粒自发形成规则几何多面体时均遵循瑞士数学家欧拉(Euler)创立的一个定律：规则多面体的面数(F)、棱边数(E)和顶角数(C)服从FFEECC2关系。
应用学科：材料科学技术（一级学科），材料科学技术基础（二级学科），材料科学基础（*学科），材料组织结构（四级学科）

FFEECC2关系：
简单多面体的顶点数C、棱数E及面数F间有关系对于简单多面体，有著名的欧拉公式：V-E+F=2

分析：以四面体ABCD为例。
将它的一个面BCD去掉，再使它变为平面图 形，四面体的顶点数C、棱数E与剩下的面数F1变形后都没有变（这里F1=F-1）。因此，要研究C、E和F的关系，只要去掉一个面，将它变形为平面图形即可。
只需平面图形证明：C+F1-E=1
（1）去掉一条棱，就减少一个面，C+F1-E的值不变。例如去掉BC，就减少一个面ABC。同理，去掉棱CD、BD，也就各减少一个面ACD、ABD，由于V、C1-E的值都不变，因此V+C1-E的值不变
（2）再从剩下的树枝形中，去掉一条棱，就减少一个顶点，V+C1-E的值不变。例如去掉CA，就减少一个顶点C。同理去AD就减少一个顶点D，最后剩下AB。
在以上变化过程中，V+F1-E的值不变，
C+F1-E=2-0-1=1，
所以 C+F-E= C+F1-E+1=2。
对任意的简单多面体，运用这样的方法，都是只剩下一条线段。公式对任意简单多面体都是正确的。

欧拉定理:简单多面体的顶点数V、棱数E、面数F,有下面关系V+F-E=2

模p运算
给定一个正整数p，任意一个整数n，一定存在等式

n = kp + r

其中k、r是整数，且 0 ≤ r < p，称呼k为n除以p的商，r为n除以p的余数。

对于正整数p和整数a,b，定义如下运算：

取模运算：a mod p 表示a除以p的余数。
模p加法：(a + b) mod p ，其结果是a+b算术和除以p的余数，也就是说，(a+b) = kp +r，则 (a+b) mod p = r。
模p减法：(a-b) mod p ，其结果是a-b算术差除以p的余数。
模p乘法：(a × b) mod p，其结果是 a × b算术乘法除以p的余数。
可以发现,模p运算和普通的四则运算有很多类似的规律，如： 规律 公式
结合率 ((a+b) mod p + c)mod p = (a + (b+c) mod p) mod p
((a*b) mod p * c)mod p = (a * (b*c) mod p) mod p
交换率 (a + b) mod p = (b+a) mod p
(a × b) mod p = (b × a) mod p
分配率 ((a +b)mod p × c) mod p = ((a × c) mod p + (b × c) mod p) mod p

简单的证明其中第一个公式：

((a+b) mod p + c) mod p = (a + (b+c) mod p) mod p
假设
a = k1 p + r1
b = k2 p + r2
c = k3 p + r3

a+b = (k1 + k2) p + (r1 + r2)
如果(r1 + r2) >= p ，则
(a+b) mod p = (r1 + r2) -p
否则
(a+b) mod p = (r1 + r2)
再和c进行模p和运算，得到
结果为 r1 ＋ r2 + r3的算术和除以p的余数。
对右侧进行计算可以得到同样的结果，得证。

模p相等
如果两个数a、b满足a mod p = b mod p，则称他们模p相等，记做

a ≡ b mod p
可以证明，此时a、b满足 a = kp + b，其中k是某个整数。

对于模p相等和模p乘法来说，有一个和四则运算中迥然不同得规则。在四则运算中，如果c是一个非0整数，则

ac = bc 可以得出 a =b

但是在模p运算中，这种关系不存在，例如：

(3 x 3) mod 9 = 0
(6 x 3) mod 9 = 0
但是
3 mod 9 = 3
6 mod 9 =6

定理（消去律）：如果*(c,p) ＝ 1 ，则 ac ≡ bc mod p 可以推出 a ≡ b mod p

证明：
因为ac ≡ bc mod p
所以ac = bc + kp，也就是c(a-b) = kp
因为c和p没有除1以外的公因子，因此上式要成立必须满足下面两个条件中的一个
1) c能整除k
2) a = b
如果2不成立，则c|kp
因为c和p没有公因子，因此显然c|k，所以k = ck'
因此c(a-b)kp可以表示为c(a-b) =ck'p
因此a-b = k'p，得出a ≡ b mod p
如果a = b，则a ≡ b mod p 显然成立
得证

欧拉函数
欧拉函数是数论中很重要的一个函数，欧拉函数是指：对于一个正整数n，小于n且和n互质的正整数的个数，记做：φ(n)，其中φ(1)被定义为1，但是并没有任何实质的意义。

定义小于n且和n互质的数构成的集合为Zn，称呼这个集合为n的完全余数集合。

显然，对于素数p，φ(p)= p -1.对于两个素数p、q，他们的乘积n = pq 满足φ(n) =(p-1)(q-1)

证明：对于质数p,q，满足φ(n) =(p-1)(q-1)
考虑n的完全余数集Zn = { 1,2,....,pq -1}
而不和n互质的集合由下面三个集合的并构成：
1) 能够被p整除的集合{p,2p,3p,....,(q-1)p} 共计q-1个
2) 能够被q整除的集合{q,2q,3q,....,(p-1)q} 共计p-1个
3) {0}
很显然，1、2集合中没有共同的元素，因此Zn中元素个数 ＝ pq - (p-1 + q- 1 + 1) = (p-1)(q-1)

欧拉定理
对于互质的整数a和n，有aφ(n) ≡ 1 mod n

证明：
首先证明下面这个命题：
对于集合Zn={x1,x2,...,xφ(n)}，考虑集合
S = {ax1 mod n,ax2mod n,...,axφ(n)mod n}
则S = Zn
1) 由于a,n互质，xi也与n互质，则axi也一定于p互质，因此
任意xi，axi mod n 必然是Zn的一个元素
2) 对于Zn中两个元素xi和xj，如果xi ≠ xj
则axi mod n ≠ axi mod n，这个由a、p互质和消去律可以得出。
所以，很明显，S=Zn

既然这样，那么
（ax1 × ax2×...×axφ(n)）mod n
= （ax1 mod n × ax2mod n × ... × axφ(n)mod n）mod n
= （x1 × x2 × ... × xφ(n)）mod n
考虑上面等式左边和右边
左边等于(aφ(n) × （x1 × x2 × ... × xφ(n)）mod n) mod n
右边等于x1 × x2 × ... × xφ(n)）mod n
而x1 × x2 × ... × xφ(n)）mod n和p互质
根据消去律，可以从等式两边约去，就得到：
aφ(n) ≡ 1 mod n
推论：对于互质的数a、n，满足aφ(n)+1 ≡ a mod n
费马定理
a是不能被质数p整除的正整数，则有ap-1 ≡ 1 mod p
证明这个定理非常简单，由于φ(p) = p-1，代入欧拉定理即可证明。
同样有推论：对于不能被质数p整除的正整数a，有ap ≡ a mod p

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