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回答时间：2024-07-03 23:48
规范场论在物理学上具有非常重要性的地位，它精确地表述了自然界的三种基本力的实验预测，它是一个规范群为SU(3) × SU(2) × U(1)的规范场论。规范场的理念最早由外尔提出，杨振宁的杨-米尔斯理论为现代规范场论打下了基础。
规范场论 (Gauge Theory) 是基于对称变换可以局部也可以全规范场*式局地施行这一思想的一类物理理论。非交换对称群的规范场论有时也称为杨-米尔斯理论。物理系统往往用在某种变换下不变的拉格朗日量表述，当变换在每一时空点同时施行，它们有全局对称性。规范场论推广了这一思想，它要求拉格朗日量必须也有局部对称性-应该可以在时空的特定区域施行这些对称变换而不影响到另外一个区域。这个要求是广义相对论的等价原理的一个推广。
规范"对称性"反映了系统表述的一个冗余性。
规范场论在物理学上的重要性，在于其成功为量子电动力学、弱相互作用和强相互作用提供了一个统一的数学形式化架构--标准模型。这套理论精确地表述了自然界的三种基本力的实验预测，它是一个规范群为SU(3) × SU(2) × U(1)的规范场论。像弦论这样的现代理论，以及广义相对论的一些表述，都是某种意义上的规范场论。
有时，规范对称性一词被用于更广泛的含义，包括任何局部对称性，例如微分同胚。该术语的这个含义不在本条目使用。
最早包含规范对称性的物理理论是麦克斯韦的电动力学。但是，该对称性的重要性在早期的表述中没有被注意到。在爱因斯坦发展广义相对论之后，赫尔曼·魏尔在试图统一广义相对论和电磁学的尝试中，猜想Eichinvarianz或者说尺度("规范")变换下的不变性可能也是广义相对论的局部对称性。后来发现该猜想将导致某些非物理的结果。但是在量子力学发展以后，魏尔、Vladimir Fock和Fritz London实现了该思想，但作了一些修改(把缩放因子用一个复数代替，并把尺度变化变成了相变-一个U(1)规范对称性)，这对一个相应于带电荷的量子粒子其波函数受到电磁场的影响，给定了一个漂亮的解释。这是第一个规范场论。泡利在1940年推动了该理论的传播，参看R.M. P.13, 203。
1950年代，为了解决一些基本粒子物理中的巨大混乱，杨振宁和罗伯特·米尔斯引入非交换规范场论作为理解将核子绑在原子核中的强相互作用的模型。(Ronald Shaw，和Abs Salam一起工作，在他的博士论文中独立地引入了相同的概念。)通过推广电磁学中的规范不变性，他们试图构造基于(非交换的)SU(2)对称群在同位旋质子和中子对上的作用的理论，类似于U(1)群在量子电动力学的旋量场上的作用。在粒子物理中，重点是使用量子化规范场论。
该思想后来被发现能够用于弱相互作用的量子场论，以及它和电磁学的统一在电弱理论中。当人们意识到非交换规范场论能够导出一个称为渐进自由的特色的时候，规范场论变得更有吸引力，因为渐进自由被认为是强相互作用的一个重要特点-因而推动了寻找强相互作用的规范场论的研究。这个理论称为量子色动力学，是一个SU(3)群作用在夸克的色荷上的规范场论。标准模型用规范场论的语言统一了电磁力、弱相互作用和强相互作用的表述。
1970年代Michael Atiyah爵士提出了研究经典杨-米尔斯方程的数学解的计划。1983年，Atiyah的学生Simon Donaldson 在这个工作之上证明了光滑4-流形的可微分类和它们只差一个同胚的分类非常不同。Michael Freedman采用Donaldson的工作证明伪R4的存在，也就是，欧氏4维空间上的奇异微分结构。这导致对于规范场论本身的兴趣，独立于它在基础物理中的成功。1994年，爱德华·威滕和Nathan Seiberg发明了基于超对称的规范场技术，使得特定拓扑不变量的计算成为可能。这些从规范场论来的对数学的贡献导致了对该领域的新兴。趣。
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规范场论在物理学上具有非常重要性的地位，它精确地表述了自然界的三种基本力的实验预测，它是一个规范群为SU(3) × SU(2) × U(1)的规范场论。规范场的理念最早由外尔提出，杨振宁的杨-米尔斯理论为现代规范场论打下了基础。
规范场论 (Gauge Theory) 是基于对称变换可以局部也可以全规范场*式局地施行这一思想的一类物理理论。非交换对称群的规范场论有时也称为杨-米尔斯理论。物理系统往往用在某种变换下不变的拉格朗日量表述，当变换在每一时空点同时施行，它们有全局对称性。规范场论推广了这一思想，它要求拉格朗日量必须也有局部对称性-应该可以在时空的特定区域施行这些对称变换而不影响到另外一个区域。这个要求是广义相对论的等价原理的一个推广。
规范"对称性"反映了系统表述的一个冗余性。
规范场论在物理学上的重要性，在于其成功为量子电动力学、弱相互作用和强相互作用提供了一个统一的数学形式化架构--标准模型。这套理论精确地表述了自然界的三种基本力的实验预测，它是一个规范群为SU(3) × SU(2) × U(1)的规范场论。像弦论这样的现代理论，以及广义相对论的一些表述，都是某种意义上的规范场论。
有时，规范对称性一词被用于更广泛的含义，包括任何局部对称性，例如微分同胚。该术语的这个含义不在本条目使用。
最早包含规范对称性的物理理论是麦克斯韦的电动力学。但是，该对称性的重要性在早期的表述中没有被注意到。在爱因斯坦发展广义相对论之后，赫尔曼·魏尔在试图统一广义相对论和电磁学的尝试中，猜想Eichinvarianz或者说尺度("规范")变换下的不变性可能也是广义相对论的局部对称性。后来发现该猜想将导致某些非物理的结果。但是在量子力学发展以后，魏尔、Vladimir Fock和Fritz London实现了该思想，但作了一些修改(把缩放因子用一个复数代替，并把尺度变化变成了相变-一个U(1)规范对称性)，这对一个相应于带电荷的量子粒子其波函数受到电磁场的影响，给定了一个漂亮的解释。这是第一个规范场论。泡利在1940年推动了该理论的传播，参看R.M. P.13, 203。
1950年代，为了解决一些基本粒子物理中的巨大混乱，杨振宁和罗伯特·米尔斯引入非交换规范场论作为理解将核子绑在原子核中的强相互作用的模型。(Ronald Shaw，和Abs Salam一起工作，在他的博士论文中独立地引入了相同的概念。)通过推广电磁学中的规范不变性，他们试图构造基于(非交换的)SU(2)对称群在同位旋质子和中子对上的作用的理论，类似于U(1)群在量子电动力学的旋量场上的作用。在粒子物理中，重点是使用量子化规范场论。
该思想后来被发现能够用于弱相互作用的量子场论，以及它和电磁学的统一在电弱理论中。当人们意识到非交换规范场论能够导出一个称为渐进自由的特色的时候，规范场论变得更有吸引力，因为渐进自由被认为是强相互作用的一个重要特点-因而推动了寻找强相互作用的规范场论的研究。这个理论称为量子色动力学，是一个SU(3)群作用在夸克的色荷上的规范场论。标准模型用规范场论的语言统一了电磁力、弱相互作用和强相互作用的表述。
1970年代Michael Atiyah爵士提出了研究经典杨-米尔斯方程的数学解的计划。1983年，Atiyah的学生Simon Donaldson 在这个工作之上证明了光滑4-流形的可微分类和它们只差一个同胚的分类非常不同。Michael Freedman采用Donaldson的工作证明伪R4的存在，也就是，欧氏4维空间上的奇异微分结构。这导致对于规范场论本身的兴趣，独立于它在基础物理中的成功。1994年，爱德华·威滕和Nathan Seiberg发明了基于超对称的规范场技术，使得特定拓扑不变量的计算成为可能。这些从规范场论来的对数学的贡献导致了对该领域的新兴。趣。
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回答时间：2024-07-03 23:48
规范理论通常用微分几何的语言讨论。数学上，一个规范就是某个流形的(局部)坐标系的一个选择。一个规范变换也就是一个坐标变换。
注意，虽然规范理论被联络的研究占据了大部分(主要是因为它主要在高能物理中研究)，联络的思想一般不是规范理论的基本或者中心概念。事实上，一般规范理论的一个结果表明规范变换的仿射表示(也就是仿射模)可以分类到一种满足特定属性的Jet丛的截面。有些表示在每一点共变(物理学家称其为第一类规范变换)，有些表示象联络形式一样变换(物理学家称其为第二类规范变换)(注意折实一种仿射表示)，还有其它更一般的表示，例如BF理论中的B场。当然，我们可以考虑更一般的表示(实现)，但那很复杂。但是，非线性σ模型非线性地变换，所以它们也有用处。
若我们有一个主丛P其基空间是空间或时空而结构群是一个李群，则P的截面组成一个群称为规范变换群。
我们可以在该主丛上定义一个联络(规范联络)，这可以在每个相伴矢量丛上产生一个共变导数∇。若我们选择一个局部标架(截面的局部基)，我们就可以用联络形式A表示这个共变导数，A是一个李代数-值的1-形式，在物理学中称为规范势，它显然不是内在的量，而是一个依赖于标架的选择的量。从这个联络形式，我们可以构造曲率形式F，这是一个李代数-值的2-形式，这是一个内在量，定义为其中d代表外微分而代表楔积。
无穷小规范变换形成一个李代数，可以表述为一个光滑李代数值的标量，ε。在这样一个无穷小规范变换下，其中是李括号。一个有趣的结果是，其中D是共变导数。而且，，这意味着F共变地变换。需要注意的一点是不是所有的一般规范变换都可以用无穷小规范变换生成;例如，当基流形是一个无边界的紧致流形使得从该流形到李群的映射的同伦类非平凡的时候。参看瞬子(instanton)中的例子。杨-米尔斯作用可以如下给出。其中 * 代表霍奇对偶而积分和在微分几何中的定义一样。一个规范-不变量也就是在规范变换下的不变量的例子是威尔逊环(Wilson loop)，它定义在闭合路径γ上，定义如下:其中χ是复表示ρ的特征标;而表示路径排序算子。
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规范理论通常用微分几何的语言讨论。数学上，一个规范就是某个流形的(局部)坐标系的一个选择。一个规范变换也就是一个坐标变换。
注意，虽然规范理论被联络的研究占据了大部分(主要是因为它主要在高能物理中研究)，联络的思想一般不是规范理论的基本或者中心概念。事实上，一般规范理论的一个结果表明规范变换的仿射表示(也就是仿射模)可以分类到一种满足特定属性的Jet丛的截面。有些表示在每一点共变(物理学家称其为第一类规范变换)，有些表示象联络形式一样变换(物理学家称其为第二类规范变换)(注意折实一种仿射表示)，还有其它更一般的表示，例如BF理论中的B场。当然，我们可以考虑更一般的表示(实现)，但那很复杂。但是，非线性σ模型非线性地变换，所以它们也有用处。
若我们有一个主丛P其基空间是空间或时空而结构群是一个李群，则P的截面组成一个群称为规范变换群。
我们可以在该主丛上定义一个联络(规范联络)，这可以在每个相伴矢量丛上产生一个共变导数∇。若我们选择一个局部标架(截面的局部基)，我们就可以用联络形式A表示这个共变导数，A是一个李代数-值的1-形式，在物理学中称为规范势，它显然不是内在的量，而是一个依赖于标架的选择的量。从这个联络形式，我们可以构造曲率形式F，这是一个李代数-值的2-形式，这是一个内在量，定义为其中d代表外微分而代表楔积。
无穷小规范变换形成一个李代数，可以表述为一个光滑李代数值的标量，ε。在这样一个无穷小规范变换下，其中是李括号。一个有趣的结果是，其中D是共变导数。而且，，这意味着F共变地变换。需要注意的一点是不是所有的一般规范变换都可以用无穷小规范变换生成;例如，当基流形是一个无边界的紧致流形使得从该流形到李群的映射的同伦类非平凡的时候。参看瞬子(instanton)中的例子。杨-米尔斯作用可以如下给出。其中 * 代表霍奇对偶而积分和在微分几何中的定义一样。一个规范-不变量也就是在规范变换下的不变量的例子是威尔逊环(Wilson loop)，它定义在闭合路径γ上，定义如下:其中χ是复表示ρ的特征标;而表示路径排序算子。
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