1. 初等矩阵具有可逆性，即所有初等矩阵都是可逆的。
2. 初等矩阵的逆矩阵同样是一个初等矩阵，这种逆变换可以看作是原变换的逆操作。
3. 初等变换包括：交换两行（或两列）的位置；将某行（或某列）乘以一个非零常数后加到另一行（或另一列）上；或者将某行（或某列）乘以一个常数k。
4. 当一个初等矩阵左乘矩阵A时，它将把原本施加在单位矩阵E上的变换，以相同的形式应用到矩阵A上。换句话说，可以通过对单位矩阵施加初等变换间接地对矩阵A进行变换。
应用部分：
1. 在解线性方程组时，初等行变换不会改变方程组的解。这种变换常用于高斯消元法，以逐步将系数矩阵转换为标准形。初等行变换不会改变矩阵的零空间（即解集），但会改变矩阵的列空间。相反，初等列变换不会改变列空间，但会改变零空间。
2. 求解矩阵的逆矩阵时，当矩阵的阶数较高，使用行列式和伴随矩阵求解可能会涉及大量的计算。在这种情况下，通常通过将原矩阵与相同行数（也等于列数）的单位矩阵并排，然后通过初等变换将并排矩阵的左侧化为单位矩阵。此时，右侧的矩阵就是原矩阵的逆矩阵。因为对矩阵施加初等行变换，相当于对齐次线性方程组施加同解变换。同解变换下，方程组的秩（即独立方程的个数）保持不变。对于列变换，可以类比考虑。这一点容易理解，例如，一个三阶行列式A交换第一行和第二行得到B，B再通过逆交换可以得到A，两者只是相差一个正负号。
性质总结：
1. 初等变换共有三种类型。
2. 单位矩阵通过一次初等变换得到的矩阵仍然是初等矩阵，且初等矩阵总是可逆的。
3. 初等矩阵左乘时执行行变换，右乘时执行列变换。
4. 所有可逆矩阵都可以通过初等变换转换为单位矩阵。
5. 可以通过初等行变换的方法来求解矩阵的逆矩阵。
本文如未解决您的问题请添加抖音号：51dongshi（抖音搜索懂视），直接咨询即可。
热心网友
回答时间：2024-04-27 06:25
