二阶微分方程求详解,题目见下图

提问网友发布时间：2024-04-22 23:53

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共2个回答

热心网友回答时间：2024-04-29 23:49

解：设y'=p，则y''=pdp/dy
代入原方程得，ypdp/dy+1=p²
==>ypdp/dy=p²-1
==>pdp/(p²-1)=dy/y
==>(1/(p-1)+1/(p+1))dp/2=dy/y
==>ln│(p²-1)│=2ln│y│+2ln│C1│ (C1是积分常数)
==>p²-1=(C1y)²
==>p=±√(1+(C1y)²)
==>y'=±√(1+(C1y)²)
==>dy/√(1+(C1y)²)=±dx
==>ln│C1x+√(1+(C1y)²)│=±C1x+ln│C2│ (C2是积分常数)
==>C1x+√(1+(C1y)²)=C2e^(±C1x)
故原方程的通解是C1x+√(1+(C1y)²)=C2e^(±C1x) (C1,C2是积分常数)。

热心网友回答时间：2024-04-29 23:49

设y'=p，则y''=dp/dx=dp/dy * dy/dx
=dp/dy * p
把y' y‘’代入原式，
py* dp/dy+1=p^2
py*dp=(p^2-1)dy
分离变量
p/(p^2-1) *dp=1/y dy
两边积分
1/2 ln （p^2-1）=lny+lnc
(p^2-1)^(1/2)=Cy
算得P=+-[（Cy）^2+1]^(1/2)
把P=y'=dy/dx代入上式
dy/dx==+-[（Cy）^2+1]^(1/2)
+-dy/[（Cy）^2+1]^(1/2)=dx
两端求积分就可以做出来了
积分公式是 ∫1/(x^2+a^2)^0.5 dx=ln|x+(x^2+a^2)^0.5|+C ，这里的a是1
做法是绝对正确的。请做完记得采纳

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