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过原点的直线与圆x^2+y^2-6x+5=0相交于 A,B两点,求弦AB的重点M的轨迹方...

提问网友发布时间：2024-04-06 10:29

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共2个回答

热心网友回答时间：2024-04-21 03:38

解：
圆x^2+y^2-6x+5=0的圆心是C（3，0），半径是2
连接CM，则CM⊥AB
所以M一定在以OC为直径的圆D上
因为OC＝3，所以圆D的半径＝3/2
而圆心D的坐标是（3/2，0）
所以这个圆的方程是：
(x－3/2)^2＋y^2＝(3/2)^2
这就是弦AB的中点M的轨迹方程
其中5/3≤x≤3

问题补充：

热心网友回答时间：2024-04-21 03:41

以直线的斜率为参数，用消参法求轨迹方程；用点差法得到弦中点的坐标。

【解】设直线的斜率为k，则其直线方程为y=kx;设A、B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),弦AB的中点M为(x0,y0),则
x1²+y1²-6x1+5=0
x2²+y2²-6x2+5=0
两式相减，.................【点差法】
有(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)-6(x1-x2)=0
两边同除 x1-x2，将k=(y1-y2)/(x1-x2)及x1+x2=2x0,y1+y2=2y0代入，有
2·x0+2·y0·k-6=0
整理，有x0+k·y0=3
将k=y0/x0代入，有............【消参法】
x0+y0²/x0=3
整理得x0²+y0²-3x0=0。
所以弦AB的中点M的轨迹方程为x²+y²-3x=0.

不必求x的取值范围，这个不像函数还要求定义域，轨迹方程本身已经限定了x的取值，这是个圆 x只能取园内点的横坐标

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