∫cosx(cos3x)^2dx
=(1/2)∫cosx[2(cos3x)^2]dx
=(1/2)∫cosx(1+cos6x)dx
=(1/2)∫cosxdx+(1/2)∫cosxcos6xdx
=(1/2)sinx+(1/2)∫cosxcos6xdx。
∵∫cosxcos6xdx
=∫cos6xd(sinx)=sinxcos6x-∫sinxd(cos6x)=sinxcos6x+6∫sinxsin6xdx
=sinxcos6x-6∫sin6xd(cosx)=sinxcos6x-6cosxsin6x+6∫cosxd(sin6x)
=sinxcos6x-6cosxsin6x+36∫cosxcos6xdx。
∴35∫cosxcos6xdx=6cosxsin6x-sinxcos6x,
∴∫cosxcos6xdx=(6/35)cosxsin6x-(1/35)sinxcos6x+C。
∴∫cosx(cos3x)^2dx=(1/2)sinx+(3/35)cosxsin6x-(1/70)sinxcos6x+C。
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