初一奥数期末自测题(三)及答案解析

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　　初一奥数期末自测题(三)及答案解析

　　1.解关于x的方程

　　2.解方程

　　其中a+b+c≠0.

　　3.求(8x3-6x2+4x-7)3(2x5-3)2的展开式中各项系数之和.

　　4.液态农药一桶，倒出8升后用水灌满，再倒出混合溶液4升，再用水灌满，这时农药的浓度为72%，求桶的容量.

　　5.满足[-1.77x]=-2x的'自然数x共有几个?这里[x]表示不超过x的最大整数，例如[-5.6]=-6，[3]=3.

　　6.设P是△ABC内一点.求：P到△ABC三顶点的距离和与三角形周长之比的取值范围.

　　7.甲乙两人同时从东西两站相向步行，相会时，甲比乙多行24千米，甲经过9小时到东站，乙经过16小时到西站，求两站距离.

　　8.黑板上写着三个数，任意擦去其中一个，将它改写成其他两数的和减1，这样继续下去，最后得到19，1997，1999，问原来的三个数能否是2，2，2?

　　9.设有n个实数x1，x2，…，xn，其中每一个不是+1就是-1，且

　　求证：n是4的倍数.

　　答案解析：

　　1.化简得

　　6(a-1)x=3-6b+4ab，

　　当a≠1时，

　　2.将原方程变形为

　　由此可解得

　　x=a+b+c.

　　3.当x=1时，

　　(8-6+4-7)3(2-1)2=1.

　　即所求展开式中各项系数之和为1.

　　依题意得

　　去分母、化简得

　　7x2-300x+800=0，

　　即 (7x-20)(x-40)=0，

　　5.若n为整数，有[n+x]=n+[x]，所以

　　[-1.77x]=[-2x+0.23x]

　　=-2x+[0.23x].

　　由已知[-1.77x]=-2x，所以

　　-2x=-2x+[0.23x]，

　　所以[0.23x]=0.

　　又因为x为自然数，所以0≤0.23x<1，经试验，可知x可取1，2，3，4，共4个.

　　6.如图1-105所示.在△PBC中有

　　BC

　　延长BP交AC于D.易证

　　PB+PC

　　由①，②

　　BC

　　同理

　　AC

　　AB

　　③+④+⑤得

　　AB+BC+CA<2(PA+PB+PC)<2(AB+BC+CA).

　　所以

　　来

　　7.设甲步行速度为x千米/小时，乙步行速度为y千米/小时，则所求距离为(9x+16y)千米.依题意得

　　由①得

　　16y2=9x2，③

　　由②得16y=24+9x，将之代入③得

　　即 (24+9x)2=(12x)2.

　　解之得

　　于是

　　所以两站距离为

　　9×8+16×6=168(千米).

　　8.答案是否定的.对于2，2，2，首先变为2，2，3，其中两个偶数，一个奇数.以后无论改变多少次，总是两个偶数，一个奇数(数值可以改变，但奇偶性不变)，所以，不可能变为19，1997，1999这三个奇数.

　　又因为

　　所以，k是偶数，从而n是4的倍数.

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