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函数f(x)=x+a/x+b在(1,2)有两个不同的零点,求f(1)的取值范围

提问网友发布时间：2024-03-28 19:51

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共2个回答

热心网友回答时间：2024-04-11 22:55

本题主要考察函数单调区间的解法，以及不等式取值范围,属于基本题目。
那么f（x）‘=1-a/x²。
1）当a≤0时，f（x）‘>0，所以f（x）是增函数，只存在一个单调区间，那么只有一个与x轴交点，不存在两个交点，不符合要求。
2）当a>0时，f（x）‘=1-a/x²>0，即x>√a或x<-√a，
则f（x）在x>√a或x<√a时，是增函数，f（x）在-√a
0.f（2）>0，解不出
如果是a∈（1,2）
那么只需f（-√a）=0或f（√a）=0即可
所以b=2√a或-2√a
f（1）=1+a+2√a=(√a+1)²，则f（1）∈（4,3+√2）
f（1）=1+a-2√a=(√a-1)²，则f（1）∈（0，3-√2）

热心网友回答时间：2024-04-11 22:53

函数f(x)＝|x+
1
x
|+|x?
1
x
|=
2x，x≥1
2
x
，0＜x＜1
?
2
x
，?1＜x＜0
?2x，x≤?1
，
作出函数f（x）的图象如图：
设t=f（x），
则由图象可知，当t＞2时，方程t=f（x）有4个不同的根，
当t=2时，方程t=f（x）有2个不同的根，
当t＜2时，方程t=f（x）有0个不同的根，
由f（x）=f2（x）+a?f（x）+b=0等价为t2+at+b=0，
若f（x）=f2（x）+a?f（x）+b有6个不同的零点，
则方程t2+at+b=0有两个不同的根，
其中t1=2，t2＞2，
则-a=t1+t2＞4，
∴a＜-4．
故答案为：a＜-4．

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