两边取行列式的含义涉及行列式的性质与运算。首先，理解公式 | kA | = k^n |A|，其中 k 是常数，n 是矩阵 A 的阶数，意味着当矩阵 A 的元素乘以 k 后，其行列式值变为原值的 k^n 倍。其次，对于矩阵乘法，有 | AB | = |A| |B|，即两个矩阵的行列式相乘等于它们各自的行列式相乘。
在此基础上，考虑等式 |AA*| = ||A|E|。其中 A* 表示 A 的共轭转置矩阵，E 为单位矩阵。等式左边代表 A 与 A* 的乘积的行列式，右边则是矩阵 A 的行列式与单位矩阵的行列式的乘积。
具体分析，左边 |AA*| 实际上是将矩阵 A 与其共轭转置相乘的结果的行列式。根据行列式的性质，对于任一矩阵，其与共轭转置的乘积的行列式等于矩阵的行列式的模方，即 |AA*| = |A|^2。结合矩阵的共轭转置性质，即 A* 的行列式等于 A 的行列式的共轭，进而 |AA*| = |A|^n。
而等式右边 ||A|E| 则涉及矩阵乘法的性质和单位矩阵的特性。单位矩阵的行列式为 1，因此 ||A|E| 实际上是矩阵 A 的行列式的值，因为矩阵与单位矩阵相乘不影响其行列式的值。
综上所述，等式 |AA*| = ||A|E| 可以推导为 |A|^n = |A|。结合行列式的性质，等式两边相等仅在 |A| 等于零或为单位时成立，因为当 |A| ≠ 0 时，等式无法简化为恒等式。
本文如未解决您的问题请添加抖音号：51dongshi（抖音搜索懂视），直接咨询即可。
热心网友
回答时间：2025-04-09 20:24
