定义：商集
在任意集合
X
上定义等价关系
R
，对于任意元素
x
，等价类
x
~
表示所有与
x
等价的元素集合。由此生成的
X
商集
X
/
R
是一个由所有等价类构成的集合族。传统上我们可能将等价类视为元素，但实际上它是一个集合。
直观理解商集，可以通过实例来展示。
例 1
在域
F
上，定义等价关系
x
~
y
表示
y
是
x
的倍数。由此，
F
上的商集形成一个模
n
的网格，网格中的每个等价类对应一个模
n
的整数类。
例 2
对于任意集合
X
，定义等价关系
x
~
y
表示
y
是
x
的整数倍。由此，
X
上的商集可以映射到一个十二进制计数系统。
例 3
定义
x
在集合
X
上的等价关系
x
~
y
表示
y
与
x
在某种特定函数
f
下的映射值相等。由此，
X
上的商集可以构造莫比乌斯环，其中所有等价元素被粘合在一起。
例 4
通过定义等价关系
x
~
y
表示
y
与
x
在某种特定函数
f
下的映射值有某种关联。由此，
X
上的商集可以构造出克莱因瓶，它是一种特殊的莫比乌斯环形态。
定义：商映射
在任意集合
X
和等价关系
R
的基础上，生成的商集
X
/
R
可以通过商映射
p
来描述，其中
p
:
X
→
X
/
R
将任意元素
x
映射到其等价类
x
~
。
定义：商空间
在拓扑空间
X
上定义等价关系
R
，生成商集
X
/
R
，同时定义商映射
p
。由此，
X
的商拓扑
X
/
R
被定义为包含所有等价类作为元素的集合。
为什么是原像？
在定义中，我们使用商映射
p
的逆映射来定义商拓扑
X
/
R
，而非
p
本身。原因在于，如果将等价类视为元素的集合族，可能导致某些拓扑性质的混淆或损失。通过使用逆映射，可以确保在保持拓扑结构的完整性的同时，准确描述商空间的拓扑特性。
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回答时间：2025-02-11 00:21
