观察下列关系式:
3
1>1
3,3
2>2
3,3
3=3
3,3
4>4
3,3
5>5
3,3
6>6
3,…可知:3
n≥n
3(n为正整数),
由此可得:若正整数之和为3n,当这些正整数都等于3时,它们的积最大.
由于2014=3×671+1=3×670+4,且3
671×1=3
670×3<3
670×4,
因此当正整数之和为2014时,其积的最大值为3
670×4即9
335×4.
根据二项式定理可得:9
335=(10-1)
335=[10+(-1)]
335=
?10
335+
?10
334?(-1)+…+
?10
3?(-1)
332+
?10
2?(-1)
333+
?10?(-1)
334+
?(-1)
335.
设
?10
335+
?10
334?(-1)+…+
?10
3?(-1)
332=1000A,(A为正整数)
因为
?10
2?(-1)
333+
?10?(-1)
334+
?(-1)
335=-100
+10
-1=-5591151,
所以9
335=1000A-5591151,
所以9
335的末三位数为849.
因为849×4=3396,
所以9
335×4的末三位数为396,
所以当正整数之和为2014时,其积的最大值的末三位数字为396.
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