解:(Ⅰ)当a=1时,f(x)=x-lnx-3,f′(x)=1-1x,
∴f'(1)=0,
∴函数f(x)在点(1,-2)处的切线方程为:y=-2;
(Ⅱ)由f(x)=ax-lnx-3,得f′(x)=a-1x,
当a=0时,f′(x)=-1x在x∈[e-4,e]上恒小于0,函数f(x)在[e-4,e]上单调递减,不满足题意;
当a<0时,f′(x)=a-1x在x∈[e-4,e]上恒小于0,函数f(x)在[e-4,e]上单调递减,不满足题意;
当a>0时,由f′(x)=a-1x<0,得e-4<x<1a,
∴当x∈[e-4,1a)时,f'(x)<0⇒f(x)递减,
由f′(x)=a-1x>0,得1a<x<e,
∴当x∈(1a,e]时,f'(x)>0⇒f(x)递增.
∴函数f(x)在x∈[e-4,e]上的图象与直线y=t(0≤t≤1)恒有两个不同交点,
则需f(e-4)≥1f(1a)<0f(e)≥1⇒5e<a<e2.
∴实数a的取值范围是(5e,e2).
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