1
MP=(x,y)-(-6,8)=(x+6,y-8)
MP·OP=(x+6,y-8)·(x,y)
=x(x+6)+y(y-8)
=x^2+y^2+6x-8y=11
即：(x+3)^2+(y-4)^2=36
即P点轨迹是：(x+3)^2+(y-4)^2=36
2
圆(x+3)^2+(y-4)^2=36的圆心N(-3,4)
故：|MN|=|NO|，即N点是OM的中点
PM+PO=2PN，即：|PM|^2+|PO|^2+2PM·PO=4|PN|^2
即：|PM|^2+|PO|^2=4*6^2-22=122
而：|PM|^2+|PO|^2≥2|PM|*|PO|
即：|PM|*|PO|≤61
MP·OP=|PM|*|PO|cos⊙=11
即：cos⊙=11/(|PM|*|PO|)≥11/61
即：cos⊙∈[11/61,1]
即：⊙∈[0,arccos(11/61)]
cos⊙的最大值是1
此时MP与OP同向，即直线MN与圆N的交点，即所求P点
MN的方程：y=-4x/3，圆的方程：
x=-3+6cost，y=4+6sint
即：4+6sint=-4(2cost-1)=4-8cost
即：tant=-4/3，即：sint=4/5，cost=-3/5
或：sint=-4/5，cost=3/5
即：P点(-33/5,44/5)或(3/5,-4/5)
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回答时间：2024-03-10 09:32
