如何判断二元函数有界性

通过分析二元函数特性，判断其有界性成为了数学分析中的关键一步。本文以具体例子展示这一过程。将目标函数设定为 \(f(x,y) = x^2 + (\arctan{y})^2 - 2|x\arctan{y}|\)，其中 \(x^2\) 表示 \(x\) 的平方，而 \(\arctan{y}\) 则是 \(y\) 的反正切值。

首先，我们对给定的函数进行分解，得到 \(x^2 + (\arctan{y})^2 - 2|x\arctan{y}|\)。通过分解，我们可以看到，该函数依赖于 \(x\) 和 \(y\) 的绝对值，以及它们的乘积与各自平方的对比。

接着，对表达式进行简化，我们发现 \(x^2 + (\arctan{y})^2 - 2|x\arctan{y}|\) 可以被重写为 \((|x| - |\arctan{y}|\)^2\)。通过算术平方根的性质，我们知道任何非负数的平方根都大于等于0，因此我们有 \((|x| - |\arctan{y}|\)^2 \geq 0\)。这表明原始函数的每一项都是非负的。

进一步分析，我们可以将 \((|x| - |\arctan{y}|\)^2\) 转换为 \(2|x\arctan{y}|\)，通过等式变形，得到 \(2|x\arctan{y}|\) ≤ \(x^2 + (\arctan{y})^2\)。在 \(x\) 和 \(y\) 不全为0的情况下，我们可以将这个不等式两边同时除以 \(x^2 + (\arctan{y})^2\)，得到 \(\frac{2|x\arctan{y}|}{x^2 + (\arctan{y})^2} \leq 1\)。

接着，我们对 \(\frac{2|x\arctan{y}|}{x^2 + (\arctan{y})^2}\) 的分子和分母分别进行处理。分子的值被限制在 \(0\) 到 \(1\) 之间，而分母总是正数。因此，我们可以将不等式进一步简化为 \(\frac{|x\arctan{y}|}{x^2 + (\arctan{y})^2} \leq \frac{1}{2}\)。

最后，通过取平方根，我们得到 \(0 \leq \sqrt{\frac{|x\arctan{y}|}{x^2 + (\arctan{y})^2}} \leq \frac{\sqrt{2}}{2}\)。这意味着函数 \(f(x,y)\) 的值域被限制在 \([0, \frac{\sqrt{2}}{2}]\) 之间。通过这样的步骤，我们成功判断了二元函数的有界性。

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