若函数f(x)=1/3x∧3+1/2(1-a)x∧2+4x+a在[1,3]上存在单增区间,求a的取...

提问网友发布时间：2025-02-05 16:41

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共2个回答

热心网友回答时间：2025-02-12 06:35

f(x)=(1/3)*x^3+(1/2)*(1-a)*x^2+4x+a
则f'(x)=x^2+(1-a)x+4
因为函数f(x)=(1/3)*x^3+(1/2)*(1-a)*x^2+4x+a在[1,3]上存在单增区间
所以f'(x)=x^2+(1-a)x+4在[1,3]上恒大于等于0
即f'(x)=x^2+(1-a)x+4≥0在[1,3]上恒成立

所以(a-1)x≤x^2+4
由于x＞0
所以a-1≤(x^2+4)/x
即a≤x+4/x+1
令g(x)=x+4/x+1
这是一个双钩函数，由基本不等式有g(x)=x+4/x+1≥2√(x*4/x)+1=5(当且仅当x=4/x,即x=2时取最小值)
所以a≤5

即a的取值范围是{a|a≤5}

如果不懂，请Hi我，祝学习愉快！

热心网友回答时间：2025-02-12 06:34

一楼没对，存在和恒成立是两个不同概念，他们之间并不等价。本题可考察命题反面：不存在单调增区间，即恒有f'(x)=<0,整理有a=>x+4/x+1=g(x)（记）,1<=x<=3,只需a>=max(g(x))=6,在x=1处取得max(g(x)),得a的范围为：a<6

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