解：(Ⅰ) ，
由已知得 ，解得 ，
∴两条曲线交点的坐标为(e 2 ，e)，
切线的斜率为 ，
∴切线的方程为y-e=(x-e 2 )。
(Ⅱ)由条件知 ，
∴ ，
(i)当a＞0时，令h′(x)=0，解得x=4a 2 ，
∴当0＜x＜4a 2 时，h′(x)＜0，h(x)在(0，4a 2 )上递减；
当x＞4a 2 时，h′(x)＞0，h(x)在(4a 2 ，+∞)上递增，
∴x=4a 2 是h(x)在(0，+∞)上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是h(x)的最小值点，
∴最小值ψ(a)=h(4a 2 )=2a-aln4a 2 =2a(1-ln2a)；
(ii)当a≤0时， ，h(x)在(0，+∞)上递增，无最小值，
故h(x)的最小值ψ(a)的解析式为ψ(a)=2a（1-ln 2a）(a＞0)．
(Ⅲ)由(Ⅱ)知ψ(a)=2a（1-ln 2-lna），
则 ，
令ψ′(a)=0，解得 ，
当 时，ψ′(a)＞0，∴ψ(a)在 上递增；
当 时，ψ′(a)＜0，∴ψ(a)在 上递减，
∴ψ(a)在 处取得最大值 。
∵ψ(a)在（0，+∞）上有且只有一个极值点，所以 也是ψ(a)的最大值，
∴当a∈(0，+∞)时，总有ψ(a)≤1．
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回答时间：2025-01-24 09:10
