要计算这个极限，我们可以使用泰勒级数展开近似来逼近它。首先，我们知道当 x 趋近于无穷大时，根号(x) 和根号(x + 1) 的差别将变得微不足道，因此我们可以将问题简化为计算 sin(根号x) - sin(根号x) 的极限。
然后，我们可以使用泰勒级数展开来逼近 sin 函数：
sin(x) = x - x³/3! + x⁵/5! - ...
将这个展开应用到我们的问题中，我们有：
sin(根号x) ≈ 根号x - (根号x)³/3! + (根号x)⁵/5! - ...
再将这个展开应用到另一个 sin 函数中：
sin(根号(x + 1)) ≈ 根号(x + 1) - (根号(x + 1))³/3! + (根号(x + 1))⁵/5! - ...
现在我们可以计算出这两个展开式的差值，即：
sin(根号(x + 1)) - sin(根号x) ≈ (根号(x + 1) - 根号x) - [(根号(x + 1))³ - (根号x)³]/3! + [(根号(x + 1))⁵ - (根号x)⁵]/5! - ...
注意，上述展开是在极限情况下进行的，即 x 趋近于无穷大。因此，我们可以逐步化简这个差值，忽略高阶项，得到一个近似的极限值。最终，计算这个近似值将会给出 sin(根号(x + 1)) - sin(根号x) 的极限。
需要注意的是，这个过程使用了泰勒级数展开来进行逼近，所以得到的结果是一个近似值，而非精确的值。实际计算中可能需要更多步骤和更高阶的项来得到更准确的近似结果。
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回答时间：2025-01-23 18:41
