希尔伯特23问具体问题与解决情况

《数学家小辞典》以及其它文献中收集的希尔伯特23个问题及其解决情况如下：

问题1：连续统假设。在1938年，哥德尔证明了连续统假设和世界公认的策梅洛--弗伦克尔集合论公理系统的无矛盾性。然而，科亨在1963年证明了连续假设和策梅洛--弗伦克尔集合论公理是彼此独立的，因此连续统假设不能在策梅洛--弗伦克尔公理体系内证明其正确性与否。

问题2：算术公理的相容性。希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明。然而，1931年哥德尔发表的不完备性定理否定了这种看法。1936年德国数学家根茨在使用超限归纳法的条件下证明了算术公理的相容性。1988年出版的《中国大百科全书》数学卷指出，数学相容性问题尚未解决。

问题3：两个等底等高四面体的体积相等问题。M.W.德恩在1900年即对此问题给出了肯定解答。

问题4：两点间以直线为距离最短线问题。此问题提得过于一般，满足此性质的几何学很多，因而需增加某些限制条件。1973年，苏联数学家波格列洛夫宣布，在对称距离情况下，问题获得解决。

问题5：连续群的解析性。中间经冯·诺伊曼（1933，对紧群情形）、庞德里亚金（1939，对交换群情形）、谢瓦荚（1941，对可解群情形）的努力，1952年由格利森、蒙哥马利、齐宾共同解决，得到了完全肯定的结果。

问题6：物理学的公理化。1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫实现了将概率论公理化。后来在量子力学、量子场论方面取得了很大成功。但是物理学是否能全盘公理化，很多人表示怀疑。

问题7：某些数的无理性与超越性。1934年，A.O.盖尔方德和T.施奈德各自独立地解决了问题的后半部分，即对于任意代数数α≠0 ，1，和任意代数无理数β证明了α^β 的超越性。

问题8：素数问题。一般情况下的黎曼猜想仍待解决。哥德巴赫猜想的最佳结果属于陈景润（1966），但离最解决尚有距离。目前孪生素数问题的最佳结果也属于陈景润。

问题9：在任意数域中证明最一般的互反律。该问题已由日本数学家高木贞治（1921）和德国数学家E.阿廷（1927）解决。

问题10：丢番图方程的可解性。能否用一种由有限步构成的一般算法判断一个丢番图方程的可解性？1970年，苏联的IO.B.马季亚谢维奇证明了希尔伯特所期望的算法不存在。

问题11：系数为任意代数数的二次型。H.哈塞（1929）和C.L.西格尔（1936，1951）在这个问题上获得重要结果。

问题12：将克罗克定理推广到任意的代数有理域上去。这一问题只有一些零星的结果，离彻底解决还相差很远。

问题13：用只有两个变数的函数解一般的七次方程。苏联数学家阿诺尔德解决了连续函数的情形（1957），维士斯金又把它推广到了连续可微函数的情形（1964）。但如果要求是解析函数，则问题尚未解决。

问题14：证明某类完备函数系的有限性。这和代数不变量问题有关。1958年，日本数学家永田雅宜给出了反例。

问题15：舒伯特计数演算的严格基础。一个典型问题是：在三维空间中有四条直线，问有几条直线能和这四条直线都相交？希尔伯特要求将问题一般化，并给以严格基础。现在已有了一些可计算的方法，它和代数几何学不密切联系。但严格的基础迄今仍未确立。

问题16：代数曲线和代数曲线面的拓扑问题。这个问题分为两部分。前半部分涉及代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目。后半部分要求讨论 的极限环的最大个数和相对位置，其中X、Y是x、y的n次多项式。苏联的彼得罗夫斯基曾宣称证明了n=2时极限环的个数不超过3，但这一结论是错误的，已由中国数学家举出反例（1979）。

问题17：半正定形式的平方和表示。一个实系数n元多项式对一切数组(x1,x2,...,xn) 都恒大于或等于0，是否都能写成平方和的形式？1927年阿廷证明这是对的。

问题18：用全等多面体构造空间。由德国数学家比勃马赫（1910）、莱因哈特（1928）作出部分解决。

问题19：正则变分问题的解是否一定解析。对这一问题的研究很少。C.H.伯恩斯坦和彼得罗夫斯基等得出了一些结果。

问题20：一般边值问题。这一问题进展十分迅速，已成为一个很大的数学分支。目前还在继续研究。

问题21：给定单值群微分方程解的存在性证明。具有给定单值群的线性微分方程解的存在性证明已由希尔伯特本人（1905）和H.罗尔（1957）的工作解决。

问题22：由自守函数构成的解析函数的单值化。它涉及艰辛的黎曼曲面论，1907年P.克伯获重要突破，其他方面尚未解决。

问题23：变分法的进一步发展。出这并不是一个明确的数学问题，只是谈了对变分法的一般看法。20世纪以来变分法有了很大的发展。

希尔伯特（Hilbert D.,1862.1.23～1943.2.14）是二十世纪上半叶德国乃至全世界最伟大的数学家之一。他几乎走遍了现代数学所有前沿阵地，从而把他的思想深深地渗透进了整个现代数学。希尔伯特是哥廷根数学学派的核心，他以其勤奋的工作和真诚的个人品质吸引了来自世界各地的年青学者，使哥廷根的传统在世界产生影响。希尔伯特去世时，德国《自然》杂志发表过这样的观点：现在世界上难得有一位数学家的工作不是以某种途径导源于希尔伯特的工作。他像是数学世界的亚历山大，在数学版图上，留下了他那显赫的名字。

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