热心网友
回答时间:2025-01-20 14:40
标题中的这个结论不成立.
只要是周期函数, 不论有没有最小正周期, 都存在两个比值不是无理数(即为有理数)的周期.
即便把条件加强为"任意两个周期的比值都是有理数", 函数也可能没有最小正周期.
例如Dirichlet函数(有理数处取1, 无理数处取0), 其周期可以为任意有理数.
不过, 正如你下面写的, 其否命题是成立的:
若f(x)的某两个周期的比值是无理数, 则f(x)不存在最小正周期.
也可以等价的叙述为逆命题
若f(x)存在最小正周期, 则f(x)的任意两个周期的比值都是有理数.
证明就用: 若f(x)存在最小正周期, 则f(x)的任意周期均为最小正周期的整数倍.
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