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回答时间：2023-07-19 00:09
1.对称四极装置电阻率测深一维线性反演的基本思路
·第1步：建立目标函数
电阻率测深数据的反演方法可归结为使下面目标函数趋于极小：
地球物理数据处理基础
这里，NS是供电极距数；ρai是第i个极距的实测视电阻率；M（Mj，j＝1，2…，NM）是模型参数（地层的电阻率或厚度），NM是预测模型参数个数；ρci是由预测模型正演计算所得的第i个极距的理论视电阻率；α是范数，当α＝2时即为最小二乘法。
由于地球物理反问题存在多解性。因此在求解时，为减少反演的多解性，常在目标函数式（9－48）中对模型加入先验信息，如加入模型先验信息的目标函数变为
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式中：Mb为背景模型；C为光滑度矩阵；λ为拉格朗日系数。即要求预测模型正演结果与实测数据最接近，而且要求预测模型与给定的背景模型最接近并且光滑。显然拉格朗日
系数λ可以*对预测模型的要求偏重于哪边。
·第2步：线性化
对式（9－48）利用泰勒展开，将模型的解在初始模型M处展开，并忽略二次及以上高次项，得
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要上式趋于极小，则对于各供电极距i（i＝1，2，…，NS）要满足下面的线性方程：
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·第3步：计算视电阻率对模型参数的偏导数 得到偏导数矩阵。
·第4步：解线性方程组（9－50），得到预测模型M的修改量ΔM，建立新的预测模型。
·第5步：计算新模型的正演理论视电阻率，与实测视电阻率进行对比，如果精度满足要求，则新的预测模型即为反演结果；否则回到第3步重新计算偏导数矩阵，重新计算模型修改量，直到精度满足要求。
上述反演过程中有三个问题需要解决：①偏导数的求解；②模型参数的处理，模型参数中有不同量纲的层电阻率和厚度，尤其电阻率参数变化范围很大，如果直接由上述方法求解，不但会导致方程（9－50）严重病态，而且电阻率和厚度参数的修改也不会正确，从而会导致反演方法不收敛；③线性方程组（9－50）的求解，线性方程组（9－50）往往是不相容方程组，求解方法不同，收敛速度和收敛性也不同。下面将对这三个问题的处理方法逐一进行介绍。
2.偏导数的计算
对称四极装置电阻率测深的视电阻率对模型参数的偏导 可以从数值滤波正演过程中直接给出。但一般反演中，偏导数通常用差分方法来计算。这里介绍用差分法来求对称四极装置电阻率测深的视电阻率对模型参数的偏导
取ΔMj＝0.1Mj，则
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3.模型参数的无量纲化处理
为了解决视电阻率数据和电阻率模型参数变化范围大的问题，不少曾用它们的对数值来进行计算，但是这并没有解决层厚度参数与电阻率参数量纲不同的问题，因此，在反演过程中，出现了视电阻率测深曲线拟合很好，但预测模型与真实模型相差很大的情况，所以必须对方程（9－50）无量纲化。
将式（9－51）的偏导数代入方程（9－50）中可得
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其中：i＝1，2，…，NS。
上式两端同时除以ρci（M1，M2，…，Mj，…，MNM）可得
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这样方程组（9－52）可写为矩阵形式
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上式方程组中，左端系数矩阵A中各系数Aij、未知向量x中各变量xj以及右端向量B中各系数Bi都无量纲，从而解决了参数变量量纲不同的问题。
解线性方程组（9－54），则新模型参数Μ*｛M*j，j＝1，2，…，NM｝为
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另外为了防止模型参数修改过量，实际过程中又作如下规定：xj>1.5时取xj＝1.5，xj<－0.5时取xj＝－0.5，即每次修改量不超过原有模型参数值的一半，以保证收敛稳定。
4.线性方程组求解
线性方程组（9－54）的求解问题，由于A为NS×NM阶矩阵，且对地球物理反演问题而言A多半是接近奇异的，所以不能用常规方法求解。解这个非方阵线性方程组最常用的方法有：
（1）奇异值分解法：它的基本思想是建立在奇异值分解定理上，即任意NS×NM阶矩阵A均可分解为A＝UWVT，这里U为NS×NS阶正交阵和V为NM×NM阶正交阵，
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其中：δ1，…，δr为矩阵A的奇异值，r是矩阵的秩。当A非奇异时，奇异值较大，方程组（9－54）有广义逆解X＝VW－1UT，这里
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当A接近奇异时，有的奇异值就较小，此时由于W－1中系数过大，上述解的误差就较大。为了解决这个问题，维根斯（Wiggins）提出用最接近的矩阵R来代替A，R＝UWeVT，而
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W中小的奇异值在这里便被零代替了。因此有较精确的广义逆解X＝VW－1eUT。
（2）最小二乘法：在方程组（9－54）两端左乘AT，则方程变为ATAx＝ATB，当A非奇异时，有唯一解X＝（ATA）－1ATB；当A接近奇异时，用上式求解误差就会很大，导致反演不收敛。为了解决这个问题，马奎特提出给系数矩阵ATA的对角元素上加上一个常数，即ATAx＋λI＝ATB，以改善方程的条件，这就是著名的马奎特法又称阻尼最小二乘法。
分析奇异值（维根斯）分解方法和阻尼最小二乘（马奎特）方法，可以认为奇异值分解（维根斯）方法是将导致小的奇异值的方程取消来改善奇异值，而马奎特方法则是通过在ATA的对角元素上加常数来增大A的奇异值，两者的思想刚好相反。
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