已知P为椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上一点,F1为它的一个焦点,求证...

提问网友发布时间：2024-04-27 03:21

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共2个回答

热心网友回答时间：2024-04-28 23:02

解：以椭圆长轴为直径的圆，圆心为(0，0），r=a，
∴它的方程为：x²+y²=a²
设P(x0,y0)，F1(c,0)，
∵以PF1为直径的圆的圆心M（ (c+x0)/2，y0/2 ）；
由焦半径公式，可得PF1=a-ex0，则r0=(a-ex0)/2；
∴圆的方程为：[x-(c+x0)/2]²+(y-y0/2)²=(a-ex0)²/4；
联立方程组：x²+y²=a²和[x-(c+x0)/2]²+(y-y0/2)²=(a-ex0)²/4；
r-r0=a-(a-ex0)/2=(a+ex0)/2；
∵圆心距d²= (c+x0)²/4+y0²/4=(c²+2cx0+x0²+y0²)/4，①
因为P在椭圆上，所以y0²=b²-(b²x0²2/a²)
代入①式，得d²=[c²+b²+2cx0+x0²-(b²x0²/a²)]/4
整理得：d²=[a²+2cx0+(ex0)²]/4
∴a²+2cx0+(ex0)²=(a+ex0)²，
所以d²=(a+ex0)²/4
即d=(a+ex0)/2=r-r0
所以两圆向内切.

热心网友回答时间：2024-04-28 23:00

设PF1的中点为M，则两圆圆心之间的距离为|OM|=1/2|PF2|=1/2(2a-|PF1|)=a-1/2|PF1|，即两圆圆心之间的距离等于两圆半径之差，所以两圆相切。

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