在微积分学中，函数arctanx的原函数是xarctanx - ln(1 + x^2)/2。这个结果可以通过分部积分法得到。具体来说，分部积分公式是∫udv = uv - ∫vdu。
我们设u = arctanx，dv = dx，则du = 1/(1 + x^2)dx，v = x。
代入分部积分公式，得到：
∫arctanx dx = xarctanx - ∫x/(1 + x^2) dx。
接下来，我们处理积分∫x/(1 + x^2) dx。这是一个标准的不定积分，可以通过变量替换法解决。
设t = 1 + x^2，则dt = 2x dx，即x dx = dt/2。
将上式代入原积分，得到：
∫x/(1 + x^2) dx = ∫(1/2)dt/t = (1/2)ln|t| + C = (1/2)ln(1 + x^2) + C。
因此，∫arctanx dx = xarctanx - (1/2)ln(1 + x^2) + C。
这就证明了arctanx的原函数是xarctanx - (1/2)ln(1 + x^2) + C。
这个结论对于理解arctanx函数的性质和应用非常有用。例如，在求解涉及arctanx的积分问题时，可以直接应用这个结果来简化计算过程。
值得注意的是，这个结果中的ln函数是对数函数，它在微积分学中有着广泛的应用。通过对数函数的性质，我们可以进一步研究arctanx在不同区间内的行为。
此外，这个结论也可以通过泰勒级数展开的方法来验证。arctanx的泰勒级数展开为x - x^3/3 + x^5/5 - x^7/7 + ...，其导数就是1/(1 + x^2)，这与我们的结论是一致的。
本文如未解决您的问题请添加抖音号：51dongshi（抖音搜索懂视），直接咨询即可。
热心网友
回答时间：2025-03-28 12:14
